الدائرة المثلثية

الدائرة المثلثية
هي كل دائرة مركزها O ونصف قطرها 1 وموجهة بالاتجاه الموجب إذا كانت عكس عقارب الساعة وبالاتجاه السالب إذا كانت توافق عقارب الساعة.

مثال:
لتكن النقطة B من محيط الدائرة نلاحظ أن اتجاه القوس هو موجب حيث أن بدايةالقوسA و نهايته B وبينما هو سالب حيث بدايته من B ونهايتهA.
^
قياس BOA=60° بينما:
^
قياسB'OA=60°

حيث أن النقطتان 'B,Bمتناظرتان بالنسبة للقطر.

*لتكن لدينا الدائرة المثلثية التي مركزهاO نرسم قطران متعامدان فيتقاطعان مع محيط الدائرة في النقط التالية: B’,A’,B,Aنلاحظ أن قياس الزوايا عندالنقط السابقة بالدرجات هي على الشكل التالي:

•قياس الزاوية عند النقطة A=0°= п
•قياس الزاوية عند النقطة B=90°= п/2
•قياس الزاوية عند النقطة A’=180°= п
•قياس الزاوية عند النقطة B’=270°= -п/2 & 3п/2
•قياس الزاوية عند النقطة A=360°=2п

ملاحظة:
*قياس القطاع الممتلئ بالدرجاتs360°
*قياس القطاع الممتلئ بالراديان s2п
أي:
كل s360° تعادل s2п راديان
كل s30° تعادل x راديان
x=2п*30/360=п/6

كل i180°تعادل пراديان
كل i60° تعادلx راديان
x=п*60/180=п/3

كل i180°تعادل пراديان
كل i45° تعادلx راديان
x=п*45/180=п/4

ومنه نكتب الجدول التالي:

لتكن لدينا Cدائرة مثلثية مركزهاOنرسم قطران متعامدان بحيث يكون محور الفواصل هو محور التجب ويرمز له بالرمزCos ومحور التراتيب هو محور الجيب ويرمز له بالرمزSinفيكون لدينا:
في الربع الأول:Sinx >0 , Cosx >0
في الربع الثاني: Sinx >0 , Cosx <0
في الربع الثالث: Sinx <0 , Cosx <0
في الربع الرابع: Sinx <0 , Cosx >0

لتكن لدينا الدائرة المثلثية C و المحوران المتعامدان (Sin , Cos )
و لتكن M نقطة تقع في الربع الأول , فإذا دارت M الزاوية s2Π دورة كاملة فإن النقطة M تكرر نفسها , وبالتالي يكون لدينا:
Sin x = Sin ( x + 2 п k )
Cos x = Cos ( x + 2 п k )

حيث k عدد صحيح

العلاقات بين النسب المثلثية :
Sin ( x + 2 п ) = Sin x
Cos ( x + 2 п ) = Cos x

مثال:

أحسب النسب المثلثية للزاوية i13п/6 :1) Sin ( (13 п)/ 6 ) = Sin ( ( 12 п + п )/6 )
= Sin ( п/6 + 2 п )
= Sin п/6
= 1/2
2) Cos ( (13 п)/ 6 ) = Cos ( ( 12 п + п )/6 )
= Cos ( п/6 + 2 п )
= Cos п/6

العلاقة الشهيرة بين النسب المثلثية:

Sin² x + Cos² x = 1

مثال:

2. نكتب جدول تغيراته:

أدنى قيمة للتابع هي (1-)
أعلى قيمة للتابع هي (1+)

دراسة التابع :F(x)=Sin x

1) ندرس إذا كان تابع فردي:

F(-x)=-F(x)
لنبرهن أن:

Sin(-x)= -Sin x
Sin(-30°)= -Sin(30°)=
-1/2 = -1/2
إذا" هو تابع فردي
2) نكتب جدول تغيراته:

أعلى قيمة للتابع هي(1+)
أدنى قيمة للتابع هي( 1-)

مثال:

وشكراا